[고교논술자연계] 그래프 해석 능력은 수학·과학탐구 이해 도와

[중앙일보] < 게재순서 > 1. 이해분석력 ① 사실과 원리, 주장과 근거 ②그래프와 자료해석 (上),(下) ③ 탐구자료 분석 (上),(下) 2. 논증력 3. 창의력

집필=

▶김기권 경희고(지구과학) ▶김은주 덕수고(생물) ▶김흥규 광신고(수학) 교사 ▶이동흔 남강고(수학) ▶이효근 보인고(과학) ▶정형식 숭실고(물리) ▶조분순 여의도여고(화학) (가나다순)

STEP 0 > > 오늘의 논술 들어가기

수리·과학적 내용을 담고 있는 글에선 다양한 정보의 내용과 의미를 표·그래프·그림 등 시각적인 자료로 전환해 함축적으로 보여주는 경우가 많다. 그래프는 수학과 과학의 중요한 상징체계며 정보를 한정된 공간 내에 집약하고 있기 때문에 그래프를 해석하는 능력의 숙달이 수리·과학적 주제를 이해하는 데 영향을 미친다. 그래프에 압축·요약된 내용을 글로 풀어내거나, 그래프의 내용을 파악할 수 있는 능력은 빠른 정보 처리와 복잡한 개념 및 생각의 의사소통이 쉽도록 도와준다.

그래프의 수학적 정의는 함수관계를 만족하는 점들의 집합이다. 예를 들면 < 그림1 > 은 변수 x의 값에 따라 대응되는 변수 y의 값을 점으로 표현한 것이다. 수학적으로 그래프는 좌표가 주어진 평면에서 주어진 수식함수 y=f(x)를 만족하는 점(x, y)의 집합이다. 이때 그래프를 통해 x의 값에 따라 y값의 변화 상태를 한눈에 알 수 있다.

그래프와 관련된 자료의 변환과 해석 능력은 과학탐구에서도 중요하다. 변인들 간의 상관관계가 있는 복잡한 개념을 쉽게 이해하도록 도와주기 때문이다. 만약 용수철이 물체를 당기는 탄성력과 용수철의 늘어난 길이의 관계를 알고자 할 때 실험을 통해 얻은 자료를 다음 그래프 < 그림2 > 처럼 표현할 수 있으며, 이를 통해 탄성력이 용수철의 늘어난 길이에 비례한다는 관계를 유추할 수 있다. 이때 그래프의 기울기는 '탄성력/변형된 길이'를 의미하며 이것을 '탄성계수' 혹은 '용수철 상수'라는 과학 언어로 정의할 수 있다.

STEP 1 > > 그래프의 유형 살펴보기

◇두 변인을 연결해 새로운 정보 파악하기
다음은 정지해 있던 자동차가 오른쪽으로 운동하는 경우, 운동하기 시작할 때를 0초로 하여 자동차의 속도를 시간에 따라 나타낸 것이다.

(1) A 구간과 B 구간에서 속도 변화량의 크기가 더 큰 구간은?
(2) A 구간과 B 구간에서 가속도의 크기가 더 큰 구간은?
해설

(1) 속도 변화량은 y축의 변화량만을 고려한다. A 구간에서는 25m/s 증가하였고, B 구간에서는 30m/s 감소하였으므로 B 구간이 속도 변화량의 크기가 더 크다.

(2) 기울기의 정의는 수학적으로 y축의 변화량/x축의 변화량이다. < 그림3 > 에서 y축은 속도 변화량이고 x축은 시간이므로 정의에 따라서 속도변화량/시간, 즉 그래프의 기울기는 가속도가 된다. 이처럼 가속도는 속도-시간 그래프에서 기울기를 의미하므로 A 구간의 기울기는 속도변화량/ 시간 = 25/5=5이고, B 구간의 기울기는 -30/10=-3이므로 기울기의 크기가 큰 A 구간이 가속도의 크기가 더 큰 구간이다.

◇내삽과 외삽
과학적 내용을 알아보는 과정에는 관찰·측정·분류·예상 등이 있고, 그중 예상 중에 내삽과 외삽이 포함되는데 내삽은 실험범위 내에서 새로운 값을 예측하는 것이고, 외삽은 실험범위 밖에서 새로운 데이터를 예측하는 것이다. 즉, 주어진 데이터 안에서 해결하면 내삽이고 데이터를 근거로 추론해 내는 경우라면 외삽이 된다. 다음은 내삽 또는 외삽을 요구하는 해당 그래프의 예이다. 등속 운동하는(일정 속도로 달리는) 자동차의 여러 시간별 이동한 거리를 측정했다.

처음 출발해서 1시간이 될 때까지 이동한 거리는 얼마일까? 1시간 후에는 50km 이동했을 것이다. 이와 같이 주어진 자료 범위 내에서 구하는 것을 '내삽'이라 한다. 만일 처음 출발해서 10시간이 되었을 때 주행한 거리는 얼마일까? 이때는 주어진 자료의 구간을 확장해서 구해야 한다. 출발해서 10시간이 됐을 때는 이동한 거리가 500km가 될 것이다. 이와 같이 주어진 자료 범위 내에서 값을 추정하는 것을 '외삽'이라 한다.

STEP 2 > > 실생활과 연결시켜 보기

수학적 그래프에서 규칙성 찾기 < 수학 10-나 교과서, 삼각함수 단원 >
수학 교과서의 삼각함수 단원에서 배운 사인곡선을 생활 속에서 응용한 예를 찾아보자. 다음은 어떤 사람의 바이오리듬을 곡선으로 나타낸 것이다. 바이오리듬은 신체리듬, 감성리듬, 지성리듬으로 나뉜다. 각 리듬은 사인곡선 모양으로 나타나는데, 신체리듬은 23일, 감성리듬은 28일, 지성리듬은 33일을 주기로 나타난다 < 그림 5 > .

(1) 2008년 3월 1일을 원점으로 놓을 때, 기준일로부터 100일째 되는 날까지 이 사람의 감성리듬이 최고인 날을 모두 구하라.

(2) 바이오리듬의 값이 양에서 음으로 바뀌거나 음에서 양으로 바뀌는 날을 위험한 날이라 할 때, 기준일로부터 100일이 되는 날까지 이 사람의 감성리듬이 위험한 날을 모두 구하라.

해설

(1) 주어진 그래프에서 처음으로 감성리듬이 최고인 날이 9일이고 감성리듬의 주기가 28일임을 이용하면 감성리듬이 최고인 날은 9일, 37일, 65일, 93일째 되는 날이다. 따라서 2008년 3월 1일을 원점으로 놓을 때, 기준일로부터 100일째 되는 날까지 이 사람의 감성리듬이 최고인 날은 2008년 3월 10일, 4월 7일, 5월 5일, 6월 2일이다.

(2) 감성리듬의 주기가 28일이므로 감성리듬이 위험한 날은 14일마다 나타난다. 그래프에서 감성리듬이 위험한 날은 기준일로부터 2일, 16일, 30일, 44일, 58일, 72일, 86일, 100일째 되는 날이다. 따라서 2008년 3월 1일을 원점으로 놓을 때, 기준일로부터 100일째 되는 날까지 이 사람의 감성리듬이 위험한 날은 2008년 3월 3일, 3월 17일, 3월 31일, 4월 14일, 4월 28일, 5월 12일, 5월 26일, 6월 9일이다.

STEP 3 > > 논술 기출문제

세 변인을 연결해 새로운 정보 파악하기 (한양대 2008 수시2 논술문제)
문제 : 식물은 빛 에너지를 흡수하여 광합성을 통해 합성한 유기물을 생명활동에 이용한다. 광합성 과정에서 잎에 있는 엽록소는 가시광선 영역의 빛을 흡수한다. 다음 그림은 엽록소 a와 엽록소 b의 흡수 스펙트럼을 나타낸 것이다. 식물의 잎이 흡수하는 빛의 총 흡수율은 대략적으로 엽록소 a와 엽록소 b에 의한 흡수율의 합이다. 우리의 눈은 물체에서 반사되어 눈으로 들어오는 빛을 감지하여 물체의 색깔을 식별한다고 할 때, 식물의 잎은 어떤 색으로 보일지 유추하고 그 근거를 논술하라.

해설

그래프에서 엽록소 a와 엽록소 b가 가시광선 중의 어떤 빛을 가장 많이 흡수하는지를 표현하고 있다. 가로축은 가시광선의 종류를 나열하고 있고, 세로축은 빛의 흡수율의 정도를 나타낸다. 만약 이 그림의 내용을 말로 설명한다고 하면 매우 장황하고 길게 늘어놓아야 하겠지만, 그래프로 그려주면 간명하게 엽록소의 빛의 흡수율을 분명하게 한 번에 표현할 수 있다.

그래프에 따르면 보라색 계열과 빨강색 계열의 빛은 엽록소 a에 의하여 많이 흡수되고, 파랑색 계열과 빨강색 계열은 엽록소 b에 의하여 흡수가 많이 된다.

반면 녹색, 노랑, 주황 계열의 빛은 흡수가 거의 되지 않는다. 우리 눈에 보이는 잎의 색깔은 가시광선 영역의 빛 중 잎에서 반사되는 계열의 빛이 보이게 되므로 우리 눈에 보이는 잎의 색깔은 녹색, 노랑, 주황 계열이 많다. 그래프에서 가장 낮은 흡수율을 보이는 녹색, 노랑, 주황 쪽을 주목해보기 바란다

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