[날아오르는 창의사고력]수학의 돋보기로 인체의 신비를 들여다본다?!

[동아일보]
혈액형… 허파와 뼈의 구조…'수학의 돋보기'로 인체의 신비를 들여다본다?!
사람은 누구나 자기 몸에 관심이 많다. 관심은 주로 어떻게 하면 질병에 걸리지 않고 건강하게 살 수 있느냐에 쏠려 있다. 하지만 대부분이 우리 몸의 구조는 어떻게 이뤄지는지, 각 기관이 어떤 작용을 하는지, 인체 속에서 그것들은 서로 어떤 관련을 맺는지에 대해서는 제대로 모른다. 특히 건강한 사람일수록 자기 몸에 무지할 때가 많다.

수학도 마찬가지다. 일상생활 속에서 수학적 개념·지식·사고능력이 필요한 경우가 갈수록 많아지고 있지만 생활 속에 숨은 수학적 원리의 중요성은 간과되는 때가 많다. 사람들이 '생활 속 수학'에 무관심해지는 것은 수학적 능력을 공부를 잘 하는가, 못 하는가로만 보는 현 교육의 잘못된 인식 때문이다.

학부모들은 수학교육의 이런 현실 때문에 자녀에게 무리한 수학지도를 하게 된다. 남보다 어린 나이에 더 빨리 많은 것을 배우도록 하려다 보니, 자녀에게 수학을 암기하도록 강요하거나 기계적으로 학습하도록 만드는 것이다.

아이들은 이 때문에 수학을 더 어려워하고, 수학적 개념을 형성할 기회조차 빼앗긴다. 자녀가 수학에 부정적인 시각을 가지고 수학을 꺼리게 된다면 조직적 체계적인 학문으로서의 수학에 접근하는 일은 불가능해진다.

이 세상에서 인체만큼 신비롭고 조화로운 존재는 없다. 쭈글쭈글한 뇌에서 형성되는 꿈, 서로 다른 혈액형, 신비한 구조를 가진 허파, 온몸을 휘감고 있는 핏줄과 뼈까지 신비롭지 않은 것이 없다. 어렵게 접근하면 할수록 멀어지는 우리 몸에 대한 지식. 하지만 우리에게 친숙한 도구인 수학의 힘을 빌려 접근해보자.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표원장
한을이네 반 유전자 비율
A 40%, B30%, O 30%
혈액형 A,B,O,AB형 나올 확률은 각각 몇%?
문제【1】
한을이네 반 학생들의 유전자의 비율을 조사하였더니 A, B, O의 비율이 각각 40%, 30%, 30%였습니다. 이들의 혈액형 A형, B형, O형, AB형이 나올 확률은 각각 몇 %인지 구하시오.

■선생님의 도움
① 계획하기
유전자형은 AA, AO, BB, BO, AB, OO의 6가지 유전자형이 생깁니다. 그런데 유전자 A와 B 사이에는 우열관계가 없으나, 두 유전자 모두 유전자 O에 대해서는 우성이므로 유전자형 AO는 혈액형 A형, 유전자형 BO는 혈액형 B형이 됩니다.

② 실행하기
A, B, O의 유전자 비율을 각각 x, y, z라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

x=0.4, y=0.3, z=0.3이므로
x²+2xz=0.16+0.24=0.4, y²+2yz=0.09+0.18=0.27, 2xy=0.24, z²=0.09입니다.

따라서 한을이네 반 학생의 혈액형 A형, B형, O형, AB형이 나올 확률은 각각 40%, 27%, 24%, 9%입니다.

③ 반성하기
바르게 해결하였는지 알아보기 위해 각각의 확률의 합이 100%가 되는지 확인해봅니다.
유전자형과 혈액형의 차이를 알아봅니다.
문제【2】
사람들은 자고 일어났을 때 "아, 오늘은 꿈을 꾸었더니 피곤해" "오늘은 꿈은 안 꿨는데 몸이 무거워"라는 말을 종종 합니다. 이것은 잘못된 말입니다. 모든 사람들은 자는 동안 렘수면기(눈동자가 급속하게 움직이며 꿈을 꾸게 되는 수면기)와 논렘수면기(눈동자가 움직이지 않으면서 몸의 피로를 푸는 수면기)를 주기적으로 반복하여 잠을 자게 됩니다. 렘수면기에 잠이 깨면 꿈을 기억하게 되며, 논렘수면기에 잠이 깨면 꿈을 꾸지 않은 것으로 생각합니다. 하루 8시간 잠을 자는 보통사람이라면 렘수면기와 논렘수면기가 2 대 8의 비율로 5회가량 일정하게 반복되고 서서히 수면의 깊이가 낮아지면서 잠이 깹니다. 어떤 사람이 잠을 자는 데 렘수면기 수면 시간이 총 108분이었고, 렘수면기-논렘수면기 주기가 2 대 8의 비율로 5회 반복된 후 6번째 주기에 잠을 깨면서 꿈을 기억하지 못하였습니다. 이 사람의 수면시간은 최소 몇 시간, 최대 몇 시간이 되겠습니까?

문제【3】
허파에 주름이 많은 이유는 표면적을 최대한 크게 하여 호흡량을 늘리기 위해서입니다. 표면적을 넓히는 것은 허파로 산소를 흡수하여 대사에 필요한 에너지를 얻기 위해서입니다. 그런데 몸의 크기가 커지면 부피에 대한 표면적의 비는 오히려 작아집니다. 대사를 해야 하는 생명체에게 가장 중요한 것이 표면적의 확보입니다. 그러면 부피는 작게 하면서 최대의 표면적을 확보하는 방법은 무엇일까요? 생명체의 몸속 기관이 선택한 것은 바로 프랙털 구조였습니다.

그림은 멩거 스펀지라고 불리는 것입니다. 멩거 스펀지는 주어진 정육면체의 각 모서리를 3등분한 다음 9개의 작은 정육면체를 만들고 그 중간 부분을 없앤 뒤 다시 그 작은 정육면체에 같은 과정을 되풀이하여 만듭니다. 이 과정을 반복하면 부피는 점점 작아지고, 표면적은 점점 커갑니다. 이것이 가장 작은 부피 안에 가장 큰 면적을 확보하는 방법입니다. 어떤 사람의 허파 부피가, 한 변의 길이 13cm인 정육면체로 5단계까지 멩거 스펀지를 만들었을 때의 부피와 같다면 이 사람의 허파 부피를 구하시오.

문제【4】
사람 몸 구석구석 핏줄이 퍼져있지 않은 곳이 없습니다. 핏줄에는 심장에서 나온 피가 온몸으로 가는 동맥과, 온몸을 돈 피가 다시 심장으로 들어오는 정맥이 있습니다. 동맥과 정맥을 잇는 실핏줄도 있습니다. 실핏줄까지 모두 합하면 어른 한 사람의 몸에 있는 핏줄의 길이는 지구 둘레를 두 바퀴 반 돌 수 있는 길이입니다. 피는 이렇게 엄청나게 긴 길이의 핏줄을 초속 60m라는 무서울 만큼 빠른 속도로 돕니다. 이 속력은 북극성의 고도가 37.5도인 서울에서 같은 경도상의 거리로 280km 떨어진 북극성의 고도가 35도인 위치까지 약 1시간 20분 만에 닿을 수 있는 속력입니다. 어른 한 사람의 몸에 있는 모든 핏줄을 일직선으로 연결했을 때, 피가 핏줄의 처음부터 끝까지 가는 데 걸리는 시간을 구하시오. (단, 지구는 완전한 구로 봅니다.)

문제【5】
정상인의 혈액 중 55%는 액상성분인 혈장과 고체성분인 혈구로 이루어져 있습니다. 혈장은 물 91%, 단백질 7%, 지방 1%, 포도당 0.1%, 기타 무기질 이온 0.9%로 구성됩니다. 어떤 사람의 혈액 5000mL 속에 포도당 0.08%가 들어있습니다. 모자란 부분을 250mL의 포도당액 링거로 보충하려 합니다. 모자란 부분을 보충하려면 포도당액에는 몇 %의 포도당이 포함되어 있어야 합니까?

문제【6】
몸속에서 만들어 낸 항체의 개수가 몸속에 침투한 항원의 개수보다 같거나 많을 때 그 항원은 모두 없어집니다. 감기 바이러스 항원이 몸속에 침투했을 때 공격할 준비가 된 한 개의 림프구는 항체를 만들어서 항원을 계속 없애나갑니다. 그 후 우리 몸속에는 감기 바이러스 항체가 생성됩니다. 같은 감기 바이러스가 다시 침투할 경우 항원을 모두 없애는 데 걸리는 시간은 그 항원이 처음 침투했을 때보다 반으로 줄어듭니다. 어떤 사람의 몸속에 감기 바이러스가 침투했을 때 이를 공격할 준비가 된 한 개의 림프구에서는 항체를 하루에 100개 만들어낼 수 있습니다. 또 그 림프구는 하루 동안 전날 생성된 림프구의 2배수로 늘어납니다.

이 사람의 몸속에 지난해 겨울 80만 개의 감기 바이러스 항원이 들어왔고 다시 올해 겨울 같은 감기 바이러스 항원 150만 개가 또 들어왔다면, 지난해와 올해는 각각 며칠째에 감기가 나았겠습니까?

단,
[정답]
2. 최소 7시간 48분, 최대 9시간
3.
4. 19일 10시간 40분
5. 0.32%
6. 지난해: 13일째, 올해: 7일째
▶easynonsul.com 및 수학영재만들기 홈페이지(www.tamnsu.com 탐앤수닷컴)에 풀이 및 동영상 강의